五、智力题

老师：“今天我们来做几道智力题。”
观察下面的数列，写出下一个数X：
11，0，12，0，X
大胖同学：“X等于13。”
老师：“回答正确。”
小胖同学：“老师，我觉得1也可以。”
老师：“说说理由。”
小胖：“这个数列可以看成是一块整点报时的钟每隔半小时敲响的次数，过了12点当然是1点。”
老师：“嗯，也有道理。再看下面一题。”
找出下面数列的规律，写出下一个数X：
3，1，4，1，5，X
大胖受了上题的启发：“6。这是一块整点报时，半点敲一下的钟 每隔半小时敲响的次数。”
小胖：“9也可以。这是圆周率的前几位的数字3.1415926…。”
老师：“看来都难不倒你们。这次要拿出我压箱底的题目了。”
求X：
9，5，2，X，7，0
写完这几个胡诌的数字，老师的嘴角露出一丝诡异的笑容。
大胖同学马上答到：“4。”
老师本以为这次两人总要花点时间，不禁吃惊地问大胖理由。
“这是一个小数的前几位，9.52470426。”
“什么小数，有什么规律 ？”
“没什么规律，它就是一个无理数，一个无限不循环的小数。圆周率可以，它也可以啊 。”
“ 好吧，那你为什么选4？”
“因为今天星期四，而且4是我的幸运数字 。”
“ ……好吧，小胖，你有答案吗？”
“老师，随便几都可以。”
“ 认真点。”
“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……用哪一个呢……老师，要不选你的幸运数字吧 。”
“ 我的幸运数字是，嗯，6……不，还是8比较好……不能因为是老师的幸运数字就算你对 。”
“假设有一个很有意义的序列9，5，2，8，7，0。8正好是第四位啊 。”
“就算这个序列有意义，那如果我选6呢 ？”
“9，5，2，6，7，0。也很有意义啊 。”
“ 我看什么意义都没有，看不出规律就承认，其实我也是……”老师想了想还是没说下去。
小胖开始解释：
如果能够找到一个函数，自变量取1到6时值分别等于我们数列的各位数字应该就能算出题者想要的规律了。几何上说就是只需要这条函数曲线经过有限个给定的点。实际上X无论选几，都能找到无数个函数满足条件。就像要求一笔画连起这些点，每个人都会画出不同的曲线。当然很多这样的曲线是无法写出解析表达式的，为了让“规律”的形态更普通，能够写得出来，我们就用多项式来表示其中的一条曲线。假设题目给出了数列的前n项，或者更一般的给出了前 n+1项中的任意n项，要求写出无论处于什么位置的第n+1项。以这个多项式的系数为变量，列出n+1个具有n+1个变量的一次方程组，即可求得这些系数。或者更巧妙地，用拉格朗日乘子法，可以算出当上面的X取4时，这个序列的数是以下多项式在x分别取0到5时的值。
9-4x+1/2*x(x-1)+2/3*x(x-1)(x-2)+1/2* x(x-1)(x-2)(x-3)-99/120* x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
小胖：“所以，随便回答什么数都可以了 。”
大胖已经打起了呼噜 。
老师：“我外甥下个星期要考公务员，这下考题里面的数列规律题肯定没问题了 。”
小胖：“那我也算有功劳了，如果令外甥考上了可要请客哦 。”
……
两人的笑声吵醒了迷迷糊糊的大胖。
“小胖，你刚才说了什么，害得老师愁眉苦脸的。”
“怎么会！”小胖再看老师，发现他果然一下变成心事重重的样子。“请客的事不用担心，只要到食堂撮一顿就可以了。”
“唉，我突然想起了我的股票。”
大胖：“老师，你最近炒股亏了吗？”
“听了小胖刚才的话，我想起每天炒股看的趋势图。根据历史曲线去预测股票未来的发展不就和假定数列题有一个确定的答案一样吗？”
小胖：“老师，你融会贯通、举一反三的能力实在是值得我们学习。”
老师：“炒股就是靠历史曲线和影响市场的消息来判断涨跌。我以前都以为股票曲线有一定的模式，想找出其中的规律。现在我觉得这样的‘未来曲线’根本不确定，对涨跌起到更大作用的还是‘临时因素’，是谁都不能预知的消息和数据。”
小胖：“老师，我虽然没钱炒股，但听你说起来也觉得有道理。影响股市的因素太多了，预测股市就像预测天气一样。如果忽略大量很难分析的因素，简化出只有少 量条件影响的可以定量分析的股票模型，比如说一个微分方程，那这个方程的解也极度依赖那些被忽略的因素决定的初值条件和边界条件。可以把那些无法预知的消 息和数据当成不断迅速改变的初值和边界，解方程的人根据掌握的信息判定的曲线发展可能在上一秒就因为他不知道的因素改变了形状。不过老师你也不用难过，如果真能由过去的曲线判断将来的趋势也未必对你有利。因为那样股市赢家肯定都是些对钱有兴趣的数学天才了 。”
老师：“有道理 。老师现在心情不错，大胖小胖，下课！”